Qui di seguito è riportata un pò di teoria sul calcolo delle probabilità che può essere applicata al gioco del poker.

Definizione classica della probabilità

La probabilità di un dato evento (E) è il rapporto fra il numero (s) dei casi favorevoli all'evento stesso e il numero (n) dei casi possibili, purché tutti i casi considerati siano ugualmente possibili (o probabili).
(Guido Castelnuovo, Calcolo delle probabilità, Zanichelli)

p = p(E) = s/n

Nota. E già qui c'è un problema: si definisce la probabilità usando il concetto di "eventi egualmente probabili".

Esempio 1. Lanciando una moneta, qual è la probabilità che esca testa?
I casi possibili sono 2, testa e croce {T, C}, i casi favorevoli sono 1 {T}
p(testa) = 1/2

Esempio 2. Lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il 5?
I casi possibili sono 6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i casi favorevoli sono 1 {5}
p(5) = 1/6

Esempio 3. Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual è la probabilità che sia una figura?
I casi possibili sono 40, i casi favorevoli sono 12, perché le figure sono 12
p(figura) = 12/40

Esempio 4. Estraendo una pallina da un'urna che contiene 5 palline rosse e 3 palline blu, qual è la probabilità che la pallina estratta sia blu?
I casi possibili sono 5 + 3 = 8, i casi favorevoli sono 3, perché ci sono 3 palline blu
p(pallina blu) = 3/8

Esempio 5. Al gioco del lotto, qual è la probabilità che esca un numero dato, in una estrazione di 5 numeri?
I casi possibili sono tutte le cinquine, i casi favorevoli sono le cinquine che contengono il numero dato.
a) totale cinquine = combinazioni di 90 elementi a 5 a 5 = 90! / (5! · 85!)
b) totale cinquine con numero fisso = combinazioni di 89 elementi a 4 a 4 = 89! / (4! · 85!)
p(estratto al lotto) = 90! / (5! · 85!) / 89! / (4! · 85!) = 5/90

Nota. Per calcolare il numero dei casi possibili e di quelli favorevoli, in molti casi serve il calcolo combinatorio. Per una semplice introduzione, vedi le seguenti pagine, su questo sito:

Estremi della probabilità

La probabilità di un evento p(E) è sempre un numero compreso fra 0 e 1:
0 <= p(E) <= 1

Un evento che ha probabilità 0 è detto evento impossibile.

Un evento che ha probabilità 1 è detto evento certo.

Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual è la probabilità che sia un 10 di cuori?
I casi possibili sono 40 i casi favorevoli sono 0, perché nei mazzi da 40 carte non ci sono i numeri 8, 9, 10.
p(10 di cuori) = 0/40 = 0

Esempio 2. Estraendo una pallina da un'urna che contiene 8 palline rosse, qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa?
I casi possibili sono 8 i casi favorevoli sono 9, perché le ci sono 9 palline rosse.
p(pallina rossa) = 8/8 = 1

Come si può esprimere la probabilità: numero, rapporto, percentuale

La probabilità di un evento si può esprimere:

a) come frazione, ad esempio 3/4

b) come numero decimale, ad esempio 3/4 = 3 : 4 = 0,75

c) come percentuale, ad esempio 0,75 = 75%

Nota. Per trasformare un rapporto in una percentuale si divide il numeratore per il denominatore e si moltiplica il risultato per 100.

Definizione statistica della probabilità

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è presso a poco uguale alla sua probabilità. L'approssimazione cresce ordinariamente con il numero delle prove.
(Guido Castelnuovo, Calcolo delle probabilità, Zanichelli)

frequenza relativa -> probabilità

Nota. La frequenza relativa di un evento è il rapporto fra il numero di volte che si è verificato tale evento e il numero totale delle prove fatte.
Si può esprimere come frazione, come numero decimale o come percentuale.

Esempio 1. Un un'urna ci sono palline bianche e palline nere, ma non si sa quante sono. Estraendo una pallina, qual è la probabilità che sia nera?
Per rispondere, dobbiamo dapprima fare molte prove, estraendo una pallina alla volta e rimettendola nell'urna.
Supponiamo di aver fatto 85 prove e di aver estratto una pallina nera per 16 volte.
Si calcola quindi la frequenza relativa delle prove favorevoli, ottenendo così un valore approssimato della probabilità.
frequenza relativa = 16/85 = 0,188 = 18,8%
dunque:
p(pallina nera) = 18,8% circa

Eventi indipendenti ed eventi dipendenti

Due eventi casuali A e B sono indipendenti se la probabilità del verificarsi dell'evento A non dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o no, e viceversa.

Esempio 1. Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo una carta da ciascun mazzo, i due eventi:
E1 = "La carta estratta dal primo mazzo è un asso"
E2 = "La carta estratta dal secondo mazzo è una carta di fiori"
sono indipendenti.

Un evento casuale A è dipendente da un altro evento B se la probabilità dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o meno.

Esempio 1. Abbiamo un mazzo di carte da 40. Estraendo due carte in successione, senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, i due eventi:
E1 = "La prima carta estratta è un asso"
E2 = "La seconda carta estratta è un asso"
sono dipendenti. Per la precisione la probabilità di E2 dipende dal verificarsi o meno di E1.
Infatti:
a) la probabilità di E1 è 4/40
b) la probabilità di E2, se la prima carta era un asso, è 3/39
c) la probabilità di E2, se la prima carta non era un asso, è 4/39

Eventi incompatibili ed eventi compatibili

Si dicono incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova.

Eventi incompatibili

Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, i due eventi:
E1 = "Esce l'asso di cuori"
E2 = "Esce una figura"
sono incompatibili.

Due eventi sono, invece, compatibili se c’è anche una sola possibilità che possano verificarsi simultaneamente, in una data prova.

Eventi compatibili

Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, i due eventi:
E1 = "Esce una figura"
E2 = "Esce una carta di cuori"
sono compatibili perché in una estrazione potrebbe uscire una figura di cuori.

Probabilità composta di eventi indipendenti/dipendenti

Siano A e B due eventi. Indichiamo con (A et B) l’evento che si verifica se e soltanto se si verificano sia A sia B.

Se i due eventi sono indipendenti, cioè il verificarsi dell’uno non influisce sulla probabilità dell’altro, la probabilità dell’evento (A et B) è uguale al prodotto delle probabilità di A e B:

p(A et B) = p(A) · p(B) (con A, B indipendenti)

Esempio 1. Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo una carta da ciascun mazzo, consideriamo i due eventi indipendenti:
E1 = "La carta estratta dal primo mazzo è un asso"
E2 = "La carta estratta dal secondo mazzo è una carta di fiori"
Qual è la probabilità che si verifichino entrambi?
p(E1) = 4/40
p(E1) = 10/40
p(E1 et E2) = 4/40 · 10/40 = 40/400 = 1/10

Se i due eventi sono dipendenti, cioè il verificarsi dell’uno influisce sulla probabilità dell’altro, si può applicare la stessa regola, purché con p(B) si intenda la probabilità di B nell’ipotesi che A si sia verificato.

p(A et B) = p(A) · p(B|A) (con A, B dipendenti)

Esempio 1. Un'urna contiene 2 palline bianche e 3 palline rosse. Si estraggono due palline dall'urna in due estrazioni successive senza reintrodurre la prima pallina estratta nell'urna.
Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano entrambe bianche.
La probabilità che la prima pallina sia bianca è 2/5.
La probabilità che la seconda pallina sia bianca, a condizione che la prima pallina sia bianca, è 1/4.
La probabilità di avere due palline bianche è:
p(due bianche) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10

Probabilità condizionata

La probabilità che accada l'evento A, calcolata a condizione che l'evento B si sia verificato, si dice probabilità condizionata o probabilità di A sotto la condizione B e si denota con p(A|B).

p(A|B) = p(A et B) / p(B)

Nota. Di solito la probabilità condizionata si applica quando A dipende da B, cioè gli eventi sono dipendenti.
Nel caso in cui A e B sono indipendenti, le formule diventano p(A|B) = p(A). Infatti il verificarsi o meno di B non condiziona la probabilità p(A).

Esempio 1. Qual è la probabilità che estraendo 2 carte da un mazzo di 40, la seconda sia di denari, nota l'informazione che la prima è stata di denari, anche ?
p(denari et denari) = 10/40 · 9/39
oppure
p(denari | denari) = (10/40 · 9/39)/10/40 = 9/39

Probabilità totale di eventi incompatibili/compatibili

Siano A e B due eventi. Indichiamo con (A or B) l’evento che si verifica se e soltanto se si verifica A oppure B oppure entrambi.

Se i due eventi sono incompatibili, la probabilità dell'evento (A or B) è uguale alla somma delle probabilià di A e di B.

p(A or B) = p(A) + p(B) (con A, B incompatibili)

Esempio 1. Calcola la probabilità che estraendo una carta da un mazzo da 40, sia un asso oppure una figura.
p(asso) = 4/40
p(figura) = 12/40
p(asso or figura) = 4/40 + 12/40 = 16/40 = 2/5

Se i due eventi sono compatibili, la probabilità dell'evento (A or B) è uguale alla somma delle probabilià di A e di B meno la probabilità che si verifichino entrambi.

p(A or B) = p(A) + p(B)- p(A et B) (con A, B compatibili)

Esempio 1. Un’urna contiene venti palline numerate da 1 a 20. Calcola la probabilità dell’evento C = “La pallina estratta ha un numero multiplo di 2 oppure ha un numero multiplo di 5”.
Gli eventi "multiplo di 2" e "multiplo di 5" sono compatibili, infatti 10 e 20 sono multipli sia di 2 sia di 5.
p(multiplo di 2) = 10/20
p(multiplo di 5) = 4/20
p(multiplo di 2 e di 5) = 2/20
p(multiplo di 2 e di 5) = 10/20 + 4/20 - 2/20 = 12/20 = 3/5

Nota. Quando un evento si può verificare in più modi diversi e fra loro incompatibili, la sua probabilità è la probabilità è la somma delle probabilità corrispondenti a tali modi diversi.

Esempio 2. Lanciando due dadi, qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia 7?
Il totale 7 si può ottenere in 6 modi diversi e incompatibili (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), ciascuno dei quali ha probabilità 1/36.
p(somma 7) = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6

Probabilità di eventi contrari

Dato un evento A, si dice evento contrario ad A l’evento che si verifica quando non si verifica A, ossia l’evento -A complementare di A.

Due eventi contrari sono incompatibili.

Eventi contrari

La probabilità di un evento si può ottenere sottraendo da 1 la probabilità del suo evento contrario.

p(A) = 1-p(-A)

Esempio 1.Trovare la probabilità che, lanciando due dadi, si ottenga come somma delle facce almeno 4.
Dato che un punteggio maggiore o uguale di quattro si può ottenere in molti modi, conviene pensare l’evento come contrario a A = “si ottiene un punteggio inferiore a quattro”. Gli eventi favorevoli ad A sono le tre coppie (1, 1), (1, 2), (2, 1) per cui:
p(A) = 3/36 = 1/12
e la probabilità richiesta è:
p( A ) = 1 - 1/12 = 11/12

Probabilità totale, composta e grafi ad albero

Esempio 1. (tratto dai materiali didattici del prof. Dario Palladino, Università di Genova - http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/dispense.htm)
Un’urna contiene 10 palline verdi e 7 palline rosse. Si estraggono successivamente due palline, senza rimettere la prima nell’urna.
Qual è la probabilità che siano:
a) dello stesso colore;
b) di colore diverso;
c) almeno una rossa?
Per risolvere questo problema aiutiamoci con un diagramma ad albero: i quattro rami rappresentano i possibili percorsi fra loro incompatibili e, in ciascun tratto, è riportata la rispettiva probabilità.

Ad esempio, considerato il ramo a sinistra (VV), nel primo tratto figura la probabilità 10/17 che la prima pallina estratta sia verde, nel secondo la probabilità 9/16 che la seconda pallina sia verde nell’ipotesi che la prima sia verde (delle 16 palline ancora nell’urna, solo 9 sono verdi).
Così, nel ramo RV, nel primo tratto figura la probabilità 7/17 che la prima pallina estratta sia rossa, nel secondo la probabilità 10/16 che la seconda estratta sia verde nell’ipotesi che la prima pallina sia rossa (tra le 16 palline rimaste vi sono tutte e 10 le palline verdi).
a) Per la regola della probabilità composta, la probabilità che entrambe le palline siano verdi, ossia che si verifichi l’evento VV, è 10/17 · 9/16 = 45/136.
Analogamente, la probabilità che entrambe le palline siano rosse, ossia che si verifichi l’evento RR, risulta 7/17 · 6/16 = 21/136.
Quindi, la probabilità dell’evento “le palline sono dello stesso colore”, ossia entrambe verdi o entrambe rosse, per la regola della probabilità totale, è 45/136+21/136 = 66/136 = 33/68.
b) Per calcolare la probabilità dell’evento “le palline sono di colore diverso”, anziché sommare la probabilità che la prima sia verde e la seconda rossa con quella che la prima sia rossa e la seconda verde, possiamo sfruttare quanto ottenuto in a) e applicare la regola della probabilità dell’evento contrario; infatti l’evento “le palline sono di colore diverso” è contrario di “le palline sono dello stesso colore”, e quindi la sua probabilità è1-33/68 = 35/68.
c) La probabilità dell’evento “almeno una pallina è rossa” è la somma delle probabilità dei tre eventi VR, RV, RR. Più rapidamente si può calcolare la probabilità dell’evento contrario a VV (“le palline sono entrambe verdi”): 1-45/136 = 91/136.

Nota. La schematizzazione mediante grafi ad albero (associare ad ogni diramazione un evento e la relativa probabilità) si può usare quando gli eventi associati agli archi di una diramazione ("l'uscita è pari" e "l'uscita è dispari" nell'esempio dei dadi) costituiscono un gruppo completo di eventi (cioè almeno uno di essi deve accadere) incompatibili (nessuno di essi può accadere contemporaneamente ad un altro).

Definizione di speranza matematica (di una vincita fortuita)

La speranza matematica (M) di una vincita (S) è il prodotto del valore che si spera di vincere per la probabilità di vincerlo (p(E)).

M = p(E) · S

Esempio 1. Un giocatore può vincere 72 EURO se, lanciando due dadi, ottiene un doppio 6.
Qual è la sua speranza matematica?
E = "Escono due 6"
p(E) = 1/36
M = 72·1/36 = 2 EURO
La sua speranza matematica è di vincere 2 EURO.
Che cosa significa?
Se gioca una sola volta, o vince 0 EURO o vince 72 EURO. Ma se gioca molte volte, la media che deve aspettarsi è di 2 EURO a giocata. Infatti, statisticamente, vincerà una giocata ogni 36, cioè 35 volte 0 EURO e 1 volta 72 EURO.
La media è:
media = (35·0+1·72)/36 = 2 EURO

Nota. In questo caso, la speranza matematica è il valore medio di una variabile casuale (X) che può assumere soltanto due valori.

Più in generale, se S1, S2, …, Sn sono delle somme positive o negative (rispettivamente guadagni o perdite) la cui disponibilità è legata al verificarsi di n eventi che costituiscono una partizione dell’evento certo, si definisce speranza matematica (M) la somma dei prodotti delle Si per le rispettive probabilità:

M = S1·p1 + S2·p2 + … + Sn·pn

La speranza matematica, anche in questo caso, è il valore medio della variabile casuale.

Definizione di gioco equo

Un gioco è equo se la speranza matematica è uguale a zero.

In molti (forse tutti?) i casi, il giocatore, per partecipare al gioco, deve pagare una posta (P). In questo caso, una definizione equivalente a quella precedente è:

Un gioco è equo se la posta (A) è uguale alla speranza matematica di vincita (M)

A = M

Il rapporto M/A permette di valutare l'equità del gioco.

Esempio 1. Alla roulette francese, il gioco "rosso e nero" è equo?
Alla roulette ci sono 37 caselle, di cui 18 nere e 18 rosse.
Puntando sul rosso o sul nero, si incassa il doppio della posta.
Supponiamo di puntare 100 EURO sul rosso. E = "Esce rosso".
probabilità = p(E) = 18/37
posta: A = 100 EURO
vincita: S = 200 EURO
speranza matematica: M = 200·18/37 = 97,3 EURO
Per calcolare il "livello di equità" della roulette, si calcola il rapporto M/A.
M/A = 97,3/100 = 0,973 -> 97,3%
Il gioco è evidentemente non equo, ma non troppo sbilanciato.

Esempio 2. Il gioco del lotto, puntando su un numero singolo su una data ruota, è equo?
Supponiamo di puntare 100 EURO sul 25, ruota di Genova. E = "Esce il 25 sulla ruota di Genova".
probabilità = p(E) = 5/90 = 1/18
posta: A = 100 EURO
vincita: S = (1123,2 - 100) = 1023,2 EURO (11,232 volte la posta meno la posta stessa)
speranza matematica: M = 1023,2·1/18 = 56,84 EURO
Per calcolare il "livello di equità" dell lotto, puntando sull'Estratto, si calcola il rapporto M/A.
M/A = 56,84/100 = 0,5684 -> 56,84%
Il banco del lotto vince mediamente poco più del 43% delle puntate, contro il 2,7% di quello della roulette.

Esempio 3. Se il lotto fosse equo, quanto si dovrebbe vincere per aver indovinato un ambo su una data ruota?
probabilità ambo: p = 2/801
posta: A = 100 EURO
vincita lorda: 25000 EURO (250 volte la posta)
vincita netta: S = 24900 EURO (249 volte la posta)

Speranza matematica, con la vincita realmente assegnata:
M = S1·p1 + S2·p2 = 24900·2/801 - 100·799/801 = -37,58 EUR
Continuando a giocare, si perde in media il 37,58% delle puntate
Se invece il gioco fosse equo:
probabilità ambo: p = 2/801
posta: A = 100 EURO
vincita netta: S = ?
A = S·p
100 = 2S/801
S = 80100/2 = 40050 EURO = 400,5 volte la posta.

Esempio 4. Il gioco dei 3 dadi.
Si tratta di un gioco assai diffuso nel medioevo. Su un grande tavolo è disegnato un rettangolo diviso in 6 quadrati, numerati da 1 a 6.
Il banco invita gli spettatori a puntare su uno dei sei numeri.
Terminate le puntate, il banco getta tre dadi.
Chi ha puntato sul numero uscito in uno qualsiasi dei tre dadi vince il valore della somma puntata.
Se il numero è presente su due dadi la vincita si raddoppia.
Se la "fortuna" fa uscire il numero su tutte e tre le facce, la vincita si triplica.

>>>... da risolvere...

Esempio 5. Un gioco con un mazzo da 40 carte.
Il giocatore estrae una carta.
Se la carta è un asso, vince 30 EURO
Se è una figura, vince 12 EURO
In tutti gli altri casi deve pagare 14 EURO
Calcolare la speranza matematica del giocatore.
Il gioco è equo?

La speranza matematica del giocatore è:
M = S1·p1 + S2·p2 + S3·p3 = 120/40 + 144/40 - 336/40 = -1,8 EURO
Il gioco non è equo e il giocatore, facendo tante partite, perde in media 1,8 EURO a partita.

Ne vale la pena?

Quando una persona è disposta a dare qualcosa in cambio di qualcos'altro che potrà o non potrà ottenere, con un certo intervento del caso, in realtà sta facendo un gioco d'azzardo.

Se continua a ripeterlo è perché crede che sia equo o meglio vantaggioso per sé.

Se in realtà il gioco è svantggioso, evidentemente la persona ha valutato male i guadagni oppure le perdite oppure le probabilità.

Questo può aiutare a capire le valutazioni personali di un individuo.

Esempio 1.

M = Ap - B(1-p) >= 0

A >= B(1-p)/p